Алгебра 7

Уроки №38-38 -§20

ЗАСТОСУВАННЯ РІЗНИХ СПОСОБІВ РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ

Мета: систематизувати та узагальнити знання та вміння учнів щодо різних способів розкладання многочленів на множники; виробити вміння застосовувати різні способи розкладання многочленів на множники.

Тип уроку: систематизація та узагальнення знань.

Хід уроку

Запитання до класу

1) Що називається розкладанням многочлена на множники?

2) Яку властивість множення використовують під час винесення спільного множника за дужки?

3) В якій послідовності виконується розкладання многочленів на множники способом групування?

4) Які алгоритми використовують під час розкладання на множники многочленів виду

; ; ?

Після бесіди проводиться самостійна робота із заповнення таблиці

По закінченні цієї роботи — перевірка (презентація) з наступною корекцією.

Щоб зробити необхідні висновки, спонукаємо учнів до порівняння отриманих коментарів, після чого — узагальнюємо висновки.

ІІІ. Формулювання мети й завдань уроку

Основну мету трьох уроків, об’єднаних темою «Застосування різних способів розкладання многочленів на множники», можна сформулювати так: 1) узагальнити й систематизувати знання й уміння щодо застосування кожного з вивчених трьох способів розкладання многочленів на множники, опанувати способи дій щодо комплексного застосування цих способів під час розкладання многочленів на множники; сформулювати (якщо це можливо) певний алгоритм дій у ході розв’язування такого виду завдань; 2) ознайомитись із спектром завдань, розв’язання яких передбачає застосування різних способів розкладання многочленів на множники; 3) вироблення стійких навичок застосування різних способів розкладання многочленів на множники та розв’язування відповідних завдань.

IV. Засвоєння нових знань

Зрозуміло, що опанування знань щодо різних способів розкладання многочленів на множники та вмінь їх застосовувати на практиці є дуже важливим для успішного вивчення багатьох наук. Тому, щоб допомогти зорієнтуватись учневі в безмежному просторі різних виразів, що розкладаються на множники, ми будемо намагатись дати певний алгоритм, зауваживши, що він є приблизним, тобто як і будь-яке правило, він має кілька винятків.

Якщо знання про різні способи розкладання многочленів на множники й уміння застосовувати ці знання на практиці в учнів на даний момент вироблені, єдине, що залишається вчителю — це разом з учнями спробувати сформулювати єдиний алгоритм виконання дій (послідовність застосування вивчених способів) під час розкладання многочленів на множники. Після вдало виконаної роботи з випереджальним домашнім завданням ця процедура не повинна викликати в учнів труднощів і формулювання алгоритму є логічним завершенням виконаної роботи.

Кількість прикладів, розглянутих учителем, може бути іншою, але автор навмисне взяв саме такі приклади, щоб переконати учнів у справедливості алгоритму. Бажано, щоб учні порівняли хід розв’язаних вправ і самі переконатися в цьому.

Також важливо звернути увагу на такий момент, щоб попередити помилки, яких традиційно припускають учні під час розв’язування завдань з теми: розкладання многочлена на множники вважається закінченим, якщо він поданий у вигляді добутку або лінійних множників (степінь 1) або множники більш високого степеня далі жодним з відомих семикласникам способів не розкладаються. Цей момент також виділяємо під час пояснення.

V. Засвоєння вмінь

Виконання письмових вправ

На уроці традиційно відпрацьовуємо застосування сформульованого алгоритму й розв’язуємо відповідно вправи на його застосування.

1. Розкладіть на множники:

1а. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

1б. 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

1в. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2. Розв’яжіть рівняння: 1) ; 2) .

3. Розкладіть на множники, знайдіть значення виразу:

1) , якщо , ; 2) , якщо , .

4* (додатково). Логічна вправа

Вставте пропущені слова, числа, вирази чи рисунки:

VI. Підсумки уроку

Бліцтест

1. В якому випадку вказано правильне розкладання многочлена  на множники:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ?

2. Відновіть логічний ланцюжок (розставте вирази 1) — 4) у порядку, що відповідає логіці уроку):

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Який крок ви б додали до утвореного ланцюжка?

VII. Домашнє завдання

Використовуючи теорію та практичні навички, здобуті на уроці, виконайте завдання.

№ 1. Розкладіть на множники:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) .

№ 2. Знайдіть значення виразу:

1) , якщо , ; 2) , якщо , .

№ 3 (випереджальне). У даних виразах (ланцюжках) виділіть групи одночленів, щоб вони утворили вираз, що є або повним квадратом двочлена або різницею квадратів двох виразів:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) .

Геометрія - 7

Урок № 35-36 - §13

Тема. Рівнобедрений трикутник

Мета: здійснити діагностику засвоєння знань та вмінь з теми «Перша та друга ознаки рівності трикутників».

Домогтися свідомого розуміння учнями:

• означення рівнобедреного трикутника, назви його елементів;
• означення рівностороннього трикутника та того факту, що рівносторонній трикутник можна вважати рівнобедреним; теореми, що виражає властивість кутів при основі рівнобедреного трикутника.

Сформувати первинні вміння:

• використовуючи означення, розпізнавати на рисунку або за умовою рівнобедрений трикутник та називати його елементи;
• відтворювати теорему про властивість кутів при основі рівнобедреного трикутника та використовувати умову теореми при розв’язуванні задач.

Наочність і обладнання: набір демонстраційного креслярського приладдя; таблиця «Рівнобедрений трикутник».

Таблиця

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

II. Перевірка домашнього завдання

Зошити з домашнім завданням учитель збирає разом з виконаною в них самостійною роботою.

Самостійна робота

Варіант 1

Початковий рівень

1. У трикутниках ABC і KNM  AB = KN, AC = KM,  Доведіть, що ΔABC =ΔKNM.

Середній рівень

2. У трикутниках ABC і BAD  AD = 2 см. Знайдіть BC.

Достатній рівень

3. Відрізки AM і BN — відстані від точок A і B до прямої MN. Відомо, що AM = BN. Доведіть, що

Високий рівень

4. Відрізок AB є перпендикулярним до відрізка CD і проходить через його середину. Доведіть рівність трикутників ABC і ABD.

Варіант 2

Початковий рівень

1. У трикутниках ABC і XYZ , BC =YZ, AC = XZ. Доведіть, що ΔABC =ΔXYZ.

Середній рівень

2. У трикутниках ABC і ABD   BC = 8 см. Знайдіть BD.

Достатній рівень

3. Відрізки AM і BN — відстані від точок A і B до прямої MN. Відомо, що  Доведіть, що AM = BN.

Високий рівень

4. Відрізок CD є перпендикулярним до відрізка AB і проходить через його середину. Доведіть рівність трикутників ACD і BCD.

Варіант 3

Початковий рівень

1. Дві прямі перетинаються в точці O. На одній прямій від точки O відкладено рівні відрізки OA і OB, а на другій прямій — рівні відрізки OC і OD. Доведіть рівність трикутників OAC і OBD.

Середній рівень

2. Відрізок CD проходить через середину O відрізка AB так, що  Знайдіть AC, якщо BD = 8 см.

Достатній рівень

3. У трикутнику  Відстань від точки A до прямої BC дорівнює 3 см, а від точки B до прямої AC — 4 см. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо AB = 5 см.

Високий рівень

4. У трикутнику  На сторонах AB і CB відкладено рівні відрізки AM і CN. Доведіть, що ΔANB =ΔCMB.

Варіант 4

Початковий рівень

1. На сторонах кута O відкладено рівні відрізки OA і OB. Промінь OC — бісектриса кута O. Доведіть рівність трикутників OAC і OBC.

Середній рівень

2. Відрізок AB проходить через середину O відрізка CD так, що  Знайдіть  якщо

Достатній рівень

3. У трикутнику  Відстань від точки N до прямої KM дорівнює 5 см, а від точки M до прямої KN — 12 см. Знайдіть довжину сторони MN, якщо периметр трикутника дорівнює 30 см.

Високий рівень

4. У трикутнику ABC  AB = BC. На сторонах AB і CB відповідно обрано точки A₁ і C₁ так, що  Доведіть, що

III. Мотивація навчальної діяльності. Формулювання мети й завдань уроку

Оскільки трикутник та його види за сторонами й кутами розглядались у 5 класі, бажано звернутись до знань учнів та, активізувавши ці знання, сформулювати мету та завдання уроку.

IV. Актуалізація опорних знань

Виконання усних вправ

Серед трикутників зі вказаними довжинами сторін (рис. 1) виберіть один зайвий. Поясніть свій вибір.

V. Засвоєння нових знань

План вивчення нового матеріалу

1°. Означення рівнобедреного трикутника. Його елементи. Периметр рівнобедреного трикутника.

2°. Рівносторонній трикутник як особливий випадок рівнобедреного трикутника. Периметр рівностороннього трикутника.

3°. Теорема про властивість кутів рівнобедреного трикутника та її доведення.

4°. Наслідок з теореми про кути рівнобедреного трикутника.

VI. Первинне усвідомлення нового матеріалу

Виконання усних вправ

1. Які з трикутників, зображених на рисунку 2, є рівнобедреними? 2. Для рівнобедрених трикутників, зображених на рисунку 2, назвіть основи та бічні сторони. Обчисліть периметр кожного з рівнобедрених трикутників (найзручнішим способом).

3. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, якщо:

а) бічна сторона дорівнює 6 см, а основа в 3 рази менша;

б) основа дорівнює a см, а бічна сторона на 2 см більша за основу.

4. У трикутнику DEF  DE = EF. Назвіть рівні кути трикутника.

5. Трикутник ABC — рівнобедрений з основою AC,  Чому дорівнює кут C?

6. Чому дорівнює кут D трикутника DEF, зображеного на рисунку 3?

Виконання письмових вправ

Рівень А

1. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 2,6 м. Знайдіть сторонни трикутника, якщо його основа більша від бічної сторони на 0,2 м.

2. Якщо бічна сторона й кут, протилежний основі одного рівнобедреного трикутника, відповідно дорівнюють бічній стороні й куту, протилежному основі, іншого рівнобедреного трикутника, то такі трикутники рівні. Доведіть.

Рівень Б

Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 21 м. Знайдіть сторони трикутника, якщо одна з них більша за іншу на 3 м. Скільки розв’язків має задача?

VII. Підсумок уроку

Яке число можна поставити замість *, щоб Δ ABC був рівнобедреним:

а) з основою AB; б) з основою AC? Для кожного випадку запишіть рівні кути (рис. 4).

VIII. Домашнє завдання

Усно виконати вправи.

1. Чи є рівнобедреним будь-який рівносторонній трикутник? Чи є рівностороннім будь-який рівнобедрений трикутник?

2. У трикутнику DEF DE = EF. Назвіть рівні кути трикутника.

Письмово розв’язати задачі.

1. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 20 см. Знайдіть:

а) основу трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює 7,5 см;

б) бічну сторону трикутника, якщо його основа дорівнює 4 см;

в) сторони трикутника, якщо його бічна сторона відноситься до основи як 3 : 4.

2. Якщо основа й кут, прилеглий до основи, одного рівнобедреного трикутника відповідно дорівнюють основі й куту, прилеглому до основи, іншого рівнобедреного трикутника, то такі трикутники рівні. Доведіть.

Урок № 37 -§14

Тема. Третя ознака рівності трикутників

Мета: домогтися розуміння учнями змісту третьої ознаки рівності трикутників та ідеї її доведення; формувати первинні вміння застосовувати третю ознаку рівності трикутників для розв’язування задач.

Тип уроку: засвоєння знань.

Наочність і обладнання: набір демонстраційного креслярського приладдя; таблиця «Ознаки рівності трикутників» (див. урок № 17).

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

II. Перевірка домашнього завдання

Самостійна робота

Варіант 1

1. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC проведено медіану BD, а в трикутнику ABD — бісектрису DE. Знайдіть кут CDE.

2. Доведіть рівність рівнобедрених трикутників за основою та периметром.

3. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC проведено бісектрису BM. Точка K лежить на відрізку AB. Визначте, чи є відрізок KM медіаною, бісектрисою або висотою трикутника AKC.

Варіант 2

1. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC проведено бісектрису BL, а в трикутнику BLC — бісектрису LD. Знайдіть кут BLD.

2. Доведіть рівність рівнобедрених трикутників за бічною стороною та периметром.

3. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC проведено бісектрису BM. Точка K лежить на відрізку MC. Визначте, чи є відрізок BM медіаною, бісектрисою або висотою трикутника ABK.

III. Мотивація навчальної діяльності учнів. Формулювання мети й завдань уроку

Перед формулюванням мети вчитель просить учнів дати означення рівності трикутників та сформулювати першу й другу ознаки рівності трикутників. Після цього пропонує пригадати хід розв’язування задачі на побудову трикутника за трьома заданими сторонами (цей матеріал вивчався в 5 класі) та спонукає учнів до роздумів щодо питання: скільки трикутників із заданими довжинами трьох сторін можна побудувати й якими між собою будуть побудовані трикутники й чому?

Якщо відповідь на перші дві частини запитання учні дають швидко, то, відповідаючи на останню частину запитання, вони стикаються із протиріччям: з одного боку, є очевидний факт, з іншого боку, немає підстав (з наукової точки зору), щоб вважати цей факт правильним.

Розв’язання цього протиріччя (тобто пошук загального твердження та його доведення) і є по суті головною метою уроку.

IV. Актуалізація опорних знань

Виконання усних вправ

Закінчіть речення:

а) перша ознака рівності трикутників — це ознака рівності за...;

б) друга ознака рівності трикутників — це ознака рівності за...;

в) рівнобедреним називається трикутник, у якого...;

г) кути при основі рівнобедреного трикутника...;

д) медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи...

V. Засвоєння нових знань

План вивчення нового матеріалу

1°. Формулювання та доведення третьої ознаки рівності трикутників.

2°. Приклад задачі на застосування третьої ознаки рівності трикутників.

3°. Поняття про властивості та ознаки.

Методичний коментар

Після формулювання та доведення третьої ознаки рівності трикутників бажано узагальнити ознаки рівності трикутників. Учнів можна підвести до висновку, що в усіх трьох ознаках рівність трикутників випливає з рівності трьох пар відповідних елементів. І це не випадково: як правило, трикутник можна задати (побудувати) саме за трьома елементами, але не довільними, а такими, що визначають єдиний трикутник. Наприклад, трикутник можна однозначно задати довжинами трьох його сторін (це випливає зі щойно доведеної третьої ознаки). Однак, наприклад, градусні міри трьох кутів не задають трикутник однозначно.

Як приклад застосування третьої ознаки рівності трикутників розв’язуємо задачу.

Задача. Доведіть рівність трикутників за двома сторонами й медіаною, проведеною до однієї з них.

VI. Первинне усвідомлення нового матеріалу

Виконання усних вправ

1. У трикутниках ABC і A₁B₁C₁  AC = A₁C₁ і BC = B₁C₁. Яку рівність не обхідно додати до умови, щоб рівність даних трикутників можна було довести за третьою ознакою?

2. Три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника. Чи є рівними кути між відповідно рівними сторонами цих трикутників? Чому?

3. Чи правильно, що два рівносторонні трикутники рівні, якщо вони мають однакові периметри?

4. Чи правильно, що два довільні трикутники рівні, якщо вони мають однакові периметри? Чи справджується обернене твердження?

Виконання письмових вправ

Рівень А

1. На рисунку 1 AB = CD, BC = AD. Доведіть рівність трикутників ABD і CDB.

2. На рисунку 2 ΔABC =ΔCDA. Доведіть, що ΔABD = ΔCDB.

Рівень Б

На рисунку 3 AB = CD, AC = BD. Доведіть рівність трикутників ABD і DCA.

VII. Підсумки уроку

Обґрунтуйте за допомогою третьої ознаки рівності трикутників, що:

а) ΔABC =ΔMNK;

б) ΔABC =ΔADC;

в) ΔBDC =ΔCAB (рис. 4).

VIII. Домашнє завдання

Вивчити формулювання та доведення третьої ознаки рівності трикутників.

Письмово виконати вправи.

1. Накресліть рівні трикутники ABC і A₁B₁C₁.

а) Проведіть медіани BM і B₁M₁.

б) Виділіть кольором пари рівних трикутників, що утворилися на рисунку. Чи можна довести їх рівність за першою ознакою? за другою ознакою? за третьою ознакою?

2. На рисунку 5 AB = CB, AD = CD. Доведіть рівність трикутників ABD і CВD.

3. На рисунку 6 AB = CD, BF = CE, AE = FD. Доведіть, що трикутник EOF рівнобедрений.