Геометрія - 8

Урок № 34

Тема. Розв'язування задач

Мета: узагальнити, систематизувати знання учнів про зміст та схе­ми застосування означення та ознак подібності трикутників. Відпрацю­вати навички застосування набутих знань. Провести діагностику рів­ня засвоєння учнями навчального матеріалу з теми «Подібність три­кутників».

Тип уроку: комбінований.

Наочність та обладнання: конспект «Подібність трикутників».

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

З метою фронтальної перевірки засвоєння учнями змісту ознак подібності трикутників проводиться математичний диктант.

Математичний диктант

Також на уроці слід перевірити розв'язання додаткової задачі (пов­не розв'язання цієї задачі записує на дошці один з учнів заздалегідь; учні знайомляться з його змістом після виконання та перевірки завдань математичного диктанту).

III. Формулювання мети і завдань уроку

На цьому етапі уроку доречними будуть слова вчителя про те, що на попередніх трьох уроках учні окремо вивчали ознаки подібності трикутників та способи їх застосування, причому кожного уроку учні розв'язували задачі на застосування лише тієї ознаки, яка вивчалась на уроці, тобто учні працювали в «штучних умовах», за відсутності пробле­ми вибору, коли заздалегідь було відомо, який набір елементів трикут­ників (зумовлений певною ознакою подібності) слід виділити в даних трикутниках для доведення їх подібності саме за певною ознакою.

Вчителю слід наголосити на тому, що на практиці під час розв'язування задач, які передбачають застосування ознак подібності трикутників, вибір певної ознаки слід робити самому учневі, виходячи з умови задачі та своїх знань. Тому для успішного розв'язування задач на подібність трикутників учням, крім сталих знань змісту окремих оз­нак подібності трикутників та наслідків із них, слід оволодіти вміння­ми вибирати ознаку чи наслідок відповідно до умови задачі.

Отже, мета уроку — закріплення та систематизація знань учнів про ознаки подібності трикутників та відпрацювання навичок їх вико­ристання під час розв'язування задач на подібність трикутників.

IV. Актуалізація та систематизація опорних знань

Усвідомлення, повторення та систематизація знань учнів про зміст означення та ознак подібності трикутників можна провести в такій формі: до уваги учнів пропонується рис, за яким вони виконують завдання — до кожного з рисунків скласти відповідне твердження (означення чи якусь із ознак подібності трикутників). Для того, щоб залучити до роботи якомога більше учнів, можна організувати роботу в малих Трупах. У такому разі спочатку завдання виконується в групах, а потім результати виконання завдання презентуються та коригуються.

Рис.

V. Відпрацювання навичок

Застосування знань у стандартних ситуаціях

1. За даними рис. 1 доведіть, що ΔАВС ~ ΔА₁В₁С₁.

2. Нарис. 2 знайдіть трикутники, подібні до трикутника ABC, і до­
   ведіть їхню подібність.
3. Знайдіть на рис. 3 всі пари подібних трикутників і доведіть їхню
   подібність.

4. За даними рис. 4 доведіть, що ΔАВС ~ ΔА₁В₁С₁.
5. На рис. 5 знайдіть трикутники, подібні до трикутника ABC, і до­ведіть їхню подібність.

6. На рис. 6 знайдіть усі пари подібних трикутників і доведіть їхню
   подібність.

Застосування знань у нестандартних ситуаціях

1. У трикутник ABC вписано ромб AKLM (рис 7) Знайдіть периметр ромба, якщо ВК = 4 см,    МС = 9 см.
2. Діагоналі трапеції точкою перетину діляться у відношенні 3 : 7. Знайдіть основи трапеції, якщо її середня ліня дорівнює 10см

VI. Діагностика знань та вмінь

Учням пропонується самостійно розв'язати завдання як на знання і розуміння ознак подібності трикутників, так і на застосування цих знань у комплексі із набутими раніше знаннями

Самостійне розв'язування задач

1. Знайдіть нарис  8подібні трикутники і доведіть їхню подібність.

2. За даними рис 9 доведіть, що ΔАВС ~ ΔMBN.
3. Знайдіть на рис 10 подібні трикутники і доведіть їхню подібність.

4. За даними рис 11 доведіть, що ΔABC ~ ΔANM.
5. Точка перетину діагоналей трапеції ділить одну з них на відрізки завдовжки 5 см і 9 см Знайдіть основи трапеції, якщо їх сума дорів­нює   70 см.
6. Основи трапеції дорівнюють 7 см і 15 см Знайдіть відрізки діаго­налі, на які її ділить друга діагональ, якщо різниця цих відрізків дорівнює 24 см.

VII. Підсумки уроку

По закінченні виконання самостійних завдань проводиться перевірка правильності виконання, таким чином встановлюється, чи досягнута мста уроку; в учнів з'являються підстави для самооцінки та усвідомлення своїх недоліків, над якими слід працювати.

VIII. Домашнє завдання

Повторити зміст: означення, ознаки подібності трикутників та опорні факти для доведення подібності трикутників; зміст поняття перпендикуляра до прямої; означення та властивості прямокутного трикутника.

Розв'язати задачі.

1. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою АС кут В дорівнює 36°, AD — бісектриса трикутника. Доведіть, що ΔАВС ~ ΔCAD.
2. Одна з діагоналей трапеції дорівнює 28 см і ділить другу діагональ на відрізки довжиною 5 см і 9 см. Знаючи, що менша основа тра­пеції дорівнює 6 см, знайдіть:

а) відрізки, на які точка перетину діагоналей ділить першу діагональ;

б) бічну основу трапеції.

3. У трикутник ABC вписано ромб АКРЕ так, що кут А спільний, а вершина Р належить стороні ВС. Знайдіть сторону ромба, якщо
   АВ = 6 см, АС = 3 см.

Урок № 36

Тема. Теорема Піфагора

Мета: сформувати в учнів розуміння змісту теореми Піфагора та її доведення. Формувати вміння відтворювати зміст теореми Піфагора, застосовувати її формулювання для розв'язування задач на знаходжен­ня невідомих сторін прямокутних трикутників.

Типу уроку: засвоєння нових знань.

Наочність та обладнання: конспект «Теорема Піфагора».

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

Під час усного обговорення контрольних моментів розв'язання домашніх задач учні мають відтворити аргументовані міркування із використанням ознак подібності прямокутних трикутників та метричних співвідношень у прямокутному трикутнику.

Обговорення розв'язування задачі 4 сприяє повторенню опорного факту: медіана прямокутного трикутника, що проведена до гіпотенузи, ділить:

• даний трикутник на два рівнобедрених трикутники, основами яких є катети даного трикутника;
• прямий кут прямокутного трикутника на два купи, що дорівнюють гострим кутам даного прямокутного трикутника.

III. Формулювання мети і завдань уроку

Для усвідомлення учнями важливості матеріалу, який буде вивчатись на уроці, пропонуємо їм розв'язати задачу.

Задача. Чи можна прямокутник зі сторонами 6 см і 8 см вписати в коло з радіусом 5 см?

Щоб знайти відповідь на запитання задачі, учні мають скласти ма­тематичну модель задачі, яка має такий вигляд: знайти діагональ пря­мокутника зі сторонами 6 см і 8 см або знайти гіпотенузу прямокут­ного трикутника з катетами 6 см і 8 см. Аналіз ситуації приводить уч­нів до усвідомлення неможливості (або нераціональності) розв'язання задачі засобами, якими оволоділи учні на попередніх етапах вивчення геометрії. Таким чином, констатується необхідність розширення знань учнів щодо співвідношень в прямокутному трикутнику. Тому завдання на урок формулюється так: спираючись на відомі учням співвідношен­ня в прямокутному трикутнику, сформулювати твердження, що вира­жає залежність між сторонами прямокутного трикутника, довести його. А також сформувати вміння застосовувати ці залежності для знаходжен­ня невідомих сторін прямокутного трикутника.

IV. Актуалізація опорних знань

З метою успішного засвоєння учнями змісту теореми Піфагора та її доведення учням слід активізувати знання і вміння щодо означення прямокутного трикутника; метричних співвідношень у прямокутному трикутнику.

Виконання усних вправ за готовими рисунками

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Теорема Піфагора: доведення та формулювання.
2. Приклади застосування.

@ На відміну від попередніх років, коли доведення теореми Піфаго­ра здійснювалось із посиланням на властивості косинуса гострого кута прямокутного трикутника, в новому підручнику теорема Пі­фагора дуже просто доводиться із посиланням на метричні співвід­ношення в прямокутнику трикутнику. Тому доведення теореми Пі­фагора можна провести в такому порядку:

• розглянути прямокутний трикутник з катетами а і b, гіпотенузою с і висотою, проведеною до гіпотенузи h_c;
• для  нього трикутника записати  метричні співвідношення для катетів;
• виконати почленне додавання обох частин здобутих рівностей;
• перетворити праву частину здобутої рівності, використавши аксіому вимірювання відрізків.

Після здобуття шуканої рівності вчитель пропонує учням «перекласти» її з математичної мови на звичайну. Таким чином учні формулюють твердження теореми Піфагора.

На завершення вивчення матеріалу як приклад на застосування теореми учні розв'язують задачу, з якої почалося вивчення матеріалу на уроці: знайти гіпотенузу, якщо катети дорівнюють 6 см і 8 см (c² = 6² + 8² = 100, с = 10). Таким чином демонструється практичне значення вивченої теореми.

Наостанок можна підкреслити, що з теореми Піфагора випливає властивість, вивчена у 7 класі: гіпотенуза даного прямокутного трикутника завжди більша за його катет.

Під час розгляду прикладів розв'язання задач на застосування теореми Піфагора за підручником слід перевірити відповідність знань учнів щодо змісту поняття квадратний корінь. Так само у відборі задач до уроку слід пам'ятати про необхідність дотримання відповідності між геометричним та алгебраїчним матеріалом.

VI. Формування первинних умінь

Виконання усних вправ

1. Для яких трикутників, зображених нарис. 1, виконується теорема Піфагора? Виконайте відповідні записи.

Рис. 1

2. «Мені вдалося побудувати прямокутний трикутник, у якого довжи­ни всіх сторін — цілі непарні числа», — сказав учень. Доведіть, ви­користовуючи теорему Піфагора, що він помилився.
3. У ромбі відомі сторона та одна з діагоналей. Як знайти іншу діаго­наль ромба, не користуючись рисунком?
4. 1) Катети прямокутного трикутника 5 см і 12 см. Знайдіть гіпотенузу.

2) Гіпотенуза трикутника 5 см, а один із катетів дорівнює 3 см.

Знайдіть другий катет.

3) Катети прямокутного трикутника відносяться як 3 . 4, а гіпоте­нуза дорівнює 15 см. Знайдіть периметр трикутника.

4) Периметр квадрата дорівнює 4 см. Знайдіть діагональ квадрата.

5) Визначте вид трикутника ABC, якщо: 1) АС = 5, ВС = 6 , АС = 7;       2) АС = 4. ВС = 2, AC = 6.

Виконання графічних вправ

Накресліть прямокутний трикутник із катетами 3 см і 4 см. Обчис­літь за теоремою Піфагора довжину його гіпотенузи. Перевірте резуль­тат вимірюванням.

Виконання письмових вправ

1. У прямокутному трикутнику з катетами а і b та гіпотенузою с знайдіть с, якщо а = 7, b = 24 .
2. У прямокутнику знайдіть периметр, якщо діагональ дорівнює 10 см, а одна зі сторін — 6 см.
3. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 16 см. Знайдіть пе­риметр трикутника, якщо його бісектриса, проведена до основи, дорівнює 6 см.
4. У прямокутному трикутнику знайдіть невідомі сторони, якщо:

а) катети відносяться як 3 : 4. а гіпотенуза дорівнює 45 см;

б) різниця між гіпотенузою і катетом дорівнює 1 см, а другий ка­тет дорівнює 5 см;

в) висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 12 см, а проекція од­ного з катетів на гіпотенузу має довжину 16 см.

5. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 8 см і 18 см, а висота 12 см. Знайдіть периметр трапеції. Чи можна вписати в неї коло?
6. Дві більші сторони прямокутного трикутника дорівнюють 65 см і 63 см. Знайдіть третю сторону.

Оскільки на уроці розпочинається робота із формування вмінь за­стосовувати теорему Піфагора, то слід одразу виробляти в учнів навич­ки математичної культури, тобто застосуванню теореми Піфагора для деякого прямокутного трикутника мають передувати такі міркування:

Розглянемо трикутник..., у ньому кут... — прямий, отже, трикутник прямокутний із гіпотенузою... Тому за теоремою Піфагора... (робиться загальний запис теореми для даного прямокутного трикутника).

Тільки після цього можливе виконання обчислень, складання рів­няння, вираження невідомих тощо. (Згодом ці міркування можна буде скорочувати, але на першому уроці цього робити не слід).

VII.     Підсумки уроку

На якому з рисунків (див. рис. 2) допущені помилки в зображенні прямокутного трикутника?

VIII.   Домашнє завдання

Вивчити зміст та доведення теореми Піфагора.

Розв'язати задачі.

1. У прямокутнику знайдіть діагональ, якщо сторони дорівнюють 10 см і 24 см.
2. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 36 см, а бічна сто­рона — 13 см. Знайдіть медіану трикутника, проведену до основи.
3. У прямокутному трикутнику знайдіть невідомі сторони, якщо:

а) катет і гіпотенуза відносяться як 12 : 13, а другий катет дорівнює 10см;

б) катет більший за свою проекцію на гіпотенузу на 8 см, а висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 24 см.

4. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 21 см і 28 см, а більша
   бічна сторона — 25 см. Знайдіть периметр трапеції. Чи можна вписати в неї коло?